Investigación Económica
Universidad Nacional Autónoma de México
karinanp@economia.unam.mx
ISSN (Versión impresa): 0185-1667
MÉXICO
2006
Francisco Venegas Martínez
ESTABILIZACIÓN DE PRECIOS E INGRESO LABORAL INCIERTO: UN ENFOQUE
ESTOCÁSTICO
Investigación Económica,
abril-junio, año/vol. LXV, número 256
Universidad Nacional Autónoma de México
Distrito Federal, México
pp. 45-69
Red de Revistas Científicas de América Latina y el Caribe, España y Portugal
Universidad Autónoma del Estado de México
http://redalyc.uaemex.mx
Investigación Económica, vol. LXV, 256, abril-junio, 2006, pp. 45-69
Estabilización de precios
e ingreso laboral incierto:
un enfoque estocástico
F
RANCISCO
V
ENEGAS
-M
ARTÍNEZ
*
45
I
NTRODUCCIÓN
En este trabajo se presenta un modelo estocástico de estabilización tem-
poral de precios que reconoce explícitamente la incertidumbre en la diná-
mica esperada tanto de la tasa de inflación como del ingreso laboral. En
este marco, la incertidumbre del ingreso laboral es conducida por un movi-
miento browniano. Además, se supone que no hay productos derivados
para cubrirse contra devaluaciones futuras y el ingreso generado por el
señoriaje (impuesto inflacionario) es gastado en compras improductivas
del gobierno. Asimismo, bajo el supuesto de que los agentes son adversos
al riesgo, se examina la dinámica de equilibrio del consumo y la riqueza
cuando un programa de estabilización de precios se pone en marcha. Por
último, se estudian los efectos en el consumo y en el bienestar económico
Manuscrito recibido en enero de 2004; aceptado en octubre de 2005.
*
Centro de Investigación en Finanzas, Tecnológico de Monterrey, Campus Ciudad de México,
<fvenegas@itesm.mx>. El autor agradece los comentarios de dos dictaminadores anónimos.
46
F
RANCISCO
V
ENEGAS
-M
ARTÍNEZ
de cambios permanentes en los parámetros que determinan las expecta-
tivas, a saber, la tasa media esperada de devaluación, la volatilidad del
tipo de cambio, la probabilidad de devaluación, el tamaño medio esperado
de una posible devaluación y el ingreso laboral medio esperado.
Existe en la literatura un número creciente de trabajos que proporcio-
nan explicaciones a hechos estilizados propios de los programas de estabi-
lización temporal, pueden citarse, por ejemplo: Calvo (1986), Calvo y
Végh (1994, 1999), Reinhart y Végh (1995, 1996), Rodríguez (1982),
Roldos (1995), Rebelo y Végh (1995), Matsuyama (1991), y DeGregorio,
Guidotti y Végh (1998). Sin embargo, los trabajos de investigación que
abordan el tema de los programas de estabilización de precios desde un
punto de vista estocástico son muy pocos, por ejemplo, se destacan los
trabajos de Drazen y Helpman (1988), Calvo y Drazen (1997), Mendoza y
Uribe (1996, 1998), Venegas-Martínez (2000a, 2000b y 2001), y Venegas-
Martínez y González-Aréchiga (2000). Todos estos modelos comparten
semejanzas importantes: 1) los mercados de productos derivados son
inexistentes; 2) el ingreso generado por el señoriaje no es retribuido a los
agentes; 3) las variables de política económica son estocásticas.
El modelo propuesto en esta investigación tiene varias características
distintivas cuando se estudian los efectos de la incertidumbre en progra-
mas de estabilización inflacionaria anclados en el tipo de cambio: 1) con-
sidera todos los factores de riesgo en la dinámica del tipo de cambio, al
proporcionar un ambiente estocástico más realista; 2) genera soluciones
manejables en forma cerrada, lo que facilita la comprensión de los temas
clave en el análisis de la estabilización temporal; 3) examina los efectos de
un ingreso laboral incierto sobre un programa temporal de estabilización.
El trabajo se encuentra organizado de la siguiente manera. En la próxima
sección, se desarrolla un modelo estocástico del tipo de Ramsey para una
economía pequeña y abierta que produce y consume un solo bien y que
tiene una restricción cash-in-advance. Los agentes tienen expectativas de
devaluación conducidas por un proceso de difusión con saltos, y su ingreso
laboral es guiado de acuerdo con un movimiento geométrico browniano.
En la tercera sección se resuelve el problema de decisión del consumidor.
E
STABILIZACIÓN
DE
PRECIOS
E
INGRESO
LABORAL
INCIERTO
47
En la cuarta se llevan a cabo experimentos de estática comparativa. En la
quinta se examinan los efectos de choques exóneos en el bienestar econó-
mico. En la sexta se estudia el comportamiento dinámico de la riqueza y
del consumo, y se discuten varios temas relevantes de política cambiaria.
La última sección presenta las conclusiones, se reconocen las limitaciones
del modelo, y se plantea la agenda de investigación futura. Dos apéndices
contienen algunos detalles técnicos del problema de decisión del consu-
midor.
L
OS
SUPUESTOS
DEL
MODELO
Con el propósito de obtener soluciones analíticas en un modelo estocástico
del tipo de Ramsey, se mantendrá la estructura de la economía tan simple
como sea posible.
Dinámica del nivel de precios
Considere una economía pequeña y abierta con agentes idénticos de vida
infinita. La economía produce y consume un sólo bien perecedero. Se
supone que el bien es comerciable internacionalmente y que el nivel
general de precios en la economía doméstica, P
t
, es determinado por la
condición de poder de paridad de compra, a saber, P
t
=P
t
*e
t
, donde P
t
* es
el precio en moneda extranjera del bien en el resto del mundo y e
t
es el tipo
de cambio nominal. Se supone, por simplicidad, que P
t
* es igual a 1. Tam-
bién se supone que el valor inicial del tipo de cambio, e
0
, es conocido e
igual a 1.
Se supone que el número de devaluaciones esperadas, i.e., los saltos
en el tipo de cambio, por unidad de tiempo, siguen un proceso de Poisson
N
t
con intensidad ., de tal manera que
IP
(N)
{un salto unitario durante dt}=IP
(N)
{dN
t
=1}=.dt + o(dt)
mientras que
[1]
48
F
RANCISCO
V
ENEGAS
-M
ARTÍNEZ
IP
(N)
{ningún salto en dt}=IP
(N)
{dN
t
=0}=1 – .dt + o(dt)
Así, E
(N)
[dN
t
]=Var
(N)
[dN
t
]=.dt. El número inicial de saltos se supone
igual a cero, es decir, N
0
=0.
Considere un proceso de Wiener (Z
t
)
t .0
definido en un espacio de proba-
bilidad fijo con su filtración aumentada (.
(Z)
,
F
(Z)
, (
F
t(Z)
)
t .0
, IP
(Z)
). Se supo-
ne que el consumidor percibe que la tasa de inflación esperada, dP
t
/P
t
, y
por tanto la tasa esperada de devaluación de
t
/e
t
, sigue un movimiento
geométrico browniano con saltos de Poisson definido por la siguiente ecua-
ción diferencial estocástica:
t
t
P
t
t
t
t
N
Z
t
e
e
P
P
d
d
d
d
d
.
+
.
+
.
=
=
donde . es la tasa media esperada de devaluación condicionada a que no
se presenten saltos, .
P
es la volatilidad instantánea del nivel general de
precios, y . es el tamaño medio esperado de un salto en el tipo de cambio.
Por simplicidad, se supone que el proceso Z
t
es independiente de N
t
; de
otra forma Cov(Z
t
, N
t
)=.
ZN
dt=0 y el coeficiente de correlación .
ZN
podría
ser incorporado sin dificultad en todo el análisis subsecuente con un poco
más de álgebra, lo cual no es relevante para el objetivo de la presente
investigación. Asimismo, en lo que sigue, ., .
P
, . y . son constantes
positivas.
Saldos monetarios reales
El agente mantiene saldos monetarios reales, m
t
= M
t
/P
t
, donde M
t
es el
acervo nominal de dinero. La tasa estocástica de rendimiento por la ten-
dencia de saldos reales, dR
m
, está dada por el cambio porcentual en el
precio del dinero en términos de bienes. Al aplicar el lema de Itô para
procesos de difusión con saltos al inverso del nivel de precios, con [3]
como el proceso subyacente (véase apéndice A, ecuación [A2]), se obtiene
[2]
[3]
E
STABILIZACIÓN
DE
PRECIOS
E
INGRESO
LABORAL
INCIERTO
49
(
)
t
t
P
P
t
t
t
t
m
N
Z
t
P
M
P
M
R
d
1
d
d
d
d
2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
+
.
-
.
-
.
+
.
-
=
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
=
Observe que la tendencia del rendimiento por la tenencia de saldos reales
no sólo incluye la depreciación media por inflación, ., sino también un
efecto positivo de la varianza instantánea, .
P2
.
Bonos internacionales
El agente también tiene acceso a un bono internacional, b
t
, que paga una
tasa de interés real libre de riesgo (de incumplimiento), r, que es constante
para todos los plazos.
En este caso, se satisface
db
t
=rb
t
dt, b
0
dado.
Es decir, el bono paga r unidades del bien de consumo por unidad de
tiempo. Note que por el supuesto de economía pequeña, el agente toma r
como dada.
Una economía del tipo
cash-in-advance
Considere una restricción del tipo cash-in-advance de la forma Clower-Lucas-
Feenstra:
m
t
=.c
t
donde c
t
es el consumo y .>0 es el tiempo promedio que el agente man-
tiene el dinero para financiar su consumo. La condición [6] es crítica para
ligar la política cambiaria y el consumo. De esta forma, la devaluación
actúa como un impuesto estocástico en los saldos monetarios reales.
[4]
[5]
[6]
50
F
RANCISCO
V
ENEGAS
-M
ARTÍNEZ
Ingreso laboral incierto
El consumidor representativo administra y trabaja en su propio negocio.
Se supone que el ingreso laboral, y
t
, es transformado en activos reales, a
t
,
a una tasa incierta v
t
, de tal manera que
t
t
t
a
v
y =
y v
t
es conducido por un movimiento geométrico browniano. Sea (U
t
)
t .0
un
proceso de Wiener definido en un espacio de probabilidad fijo equi-pado
con su filtración aumentada (.
(Z)
,
F
(Z)
, (
F
t
(Z)
)
t .0
, IP
(Z)
). Se supone que la
tasa de variación del ingreso v
t
, está dada por
0
,
~
d
d
d
0
>
.
+
=
y
Z
t
v
v
v
t
v
t
t
donde
t
t
t
U
Z
Z
2
1
~
.
-
+
.
=
y
(
)
(
)
t
U
Z
Z
t
t
t
d
2
1
d
,
d
Cov
.
=
.
-
+
.
v
v .
y
son constantes positivas, y ..(–1, 1) es la correlación entre cam-
bios en la inflación y cambios en el ingreso laboral. De nuevo, por simpli-
cidad, se supone que los procesos N
t
, Z
t
y U
t
son independientes dos a
dos; de otra forma sería necesario incorporar los correspondientes coefi-
cientes de correlación con un poco más de álgebra.
P
ROBLEMA
DEL
CONSUMIDOR
En esta sección se caracterizan las decisiones óptimas de consumo y porta-
folio. Para ello, se obtienen soluciones explícitas que hacen más sencilla la
[7]
[8]
[9]
E
STABILIZACIÓN
DE
PRECIOS
E
INGRESO
LABORAL
INCIERTO
51
comprensión de los aspectos relevantes de los programas temporales de
estabilización.
Restricción presupuestal intertemporal
La acumulación de la riqueza del consumidor en términos del portafolio,
w
t
=m
t
/a
t
, 1– w
t
=b
t
/a
t
y del consumo, c
t
, está dada por el siguiente sistema
de ecuaciones diferenciales estocásticas:
() (
)
(
)
0
,
d
2
1
d
d
d
0
,
d
d
1
d
d
0
0
0
0
>
.
-
+
.
.
+
=
>
+
=
-
+
-
+
=
v
U
Z
v
t
v
v
v
b
m
a
t
c
a
v
R
w
a
R
w
a
a
t
t
t
v
t
t
t
t
t
b
t
t
m
t
t
t
donde dR
b
= db
t
/b
t
. Es decir, el agente destina una porción w
t
de su rique-
za a saldos reales y la proporción complementaria, 1– w
t
, a la compra de
bonos, al mismo tiempo su ingreso laboral modifica la riqueza, la cual
es marginalmente reducida por el consumo. Si se sustituyen las ecuaciones
[4], [5] y [6] en la primera ecuación del sistema de ecuaciones diferenciales
[10], se tiene que
(
)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
-
.
-
.
-
+
.
-
=
t
t
t
P
t
t
t
t
t
N
w
Z
w
t
v
w
r
a
a
d
1
d
d
d
donde
.
2
1
.
-
.
+
+
.
=
.
-
r
Índice de satisfacción
La utilidad total esperada del tipo de von Neumann-Morgenstern al
tiempo t, V
t
, del consumidor competitivo adverso al riesgo se supone de
la forma:
{
}
.
.
-
=
d
)
(
log
E
V
t
t
rs
s
t
s
e
c
F
[10]
[11]
[12]
52
F
RANCISCO
V
ENEGAS
-M
ARTÍNEZ
donde
F
t
=
F
t(Z)
.
F
t
(U)
representa la información total disponible al tiempo
t. Se emplea la función de utilidad logarítmica con el propósito de obtener
soluciones cerradas que hagan el análisis más sencillo. Observe también
que la tasa subjetiva de descuento del agente ha sido igualada a la tasa de
interés r con el fin de alcanzar un estado estacionario para w
t
y así evitar
dificultades técnicas innecesarias.
La ecuación de Hamilton-Jacobi-Bellman
La ecuación de Hamilton-Jacobi-Bellman para el problema de control
óptimo estocástico en el que se maximiza la utilidad esperada del agente,
sujeto a su restricción presupuesta intertemporal, es:
()(
)(
)
()
()()
(
)
(
)
()
{
(
)
()
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
+
-
.
+
.
+
.
.
.
-
.
+
.
-
.
=
+
-
.
-
-
-
.
-
-
t
v
w
a
I
w
v
a
t
v
a
I
w
a
t
v
a
I
w
a
t
v
a
I
e
w
a
v
r
a
t
v
a
I
v
t
v
a
I
v
v
t
v
a
I
t
v
a
I
t
v
a
I
t
t
t
v
P
t
t
t
t
t
av
P
t
t
t
t
aa
t
t
t
t
a
rt
t
t
w
t
t
t
t
a
v
t
t
t
vv
t
t
t
v
t
t
t
t
t
,
,
1
1
1
,
,
,
,
,
,
log
max
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
2
2
2
2
1
1
2
2
2
1
donde
()
(
)
{
}
.
.
-
-
.
E
=
1
d
log
max
,
,
t
rs
s
s
t
w
t
t
s
e
w
a
t
v
a
I
t
F
es la función de utilidad indirecta (o función del bienestar económico)del
consumidor, e I
a
(a
t
, v
t
, t) es la variable de coestado.
Reducción de la dimensión del problema
Dado el factor de descuento exponencial en la ecuación [14], se define
I(a
t
, v
t
, t) en forma separable en el tiempo como
[14]
[13]
E
STABILIZACIÓN
DE
PRECIOS
E
INGRESO
LABORAL
INCIERTO
53
(
)()
rt
t
t
t
t
e
v
a
F
t
v
a
I
-
=
,
,
,
Por tanto, la ecuación [14] se transforma en
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
()
()
{
()
()
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
+
-
.
+
.
+
.
.
.
-
.
+
.
-
.
=
+
-
.
-
-
+
.
-
t
t
t
v
P
t
t
t
t
t
av
P
t
t
t
t
aa
t
t
t
t
a
t
t
w
t
t
t
t
a
v
t
t
t
vv
t
t
t
v
t
t
v
w
a
F
w
v
a
v
a
F
w
a
v
a
F
w
a
v
a
F
w
a
v
r
a
v
a
F
v
v
a
F
v
v
v
a
F
v
a
F
r
,
1
1
1
,
,
,
log
max
,
,
,
,
2
2
2
2
1
1
2
2
2
1
Se postula como posible candidato de solución de la ecuación diferencial
ordinaria [15] a:
()
()(
)
3
2
1
0
,
;
log
,
.
.
.
+
.
+
.
=
t
t
t
t
t
v
v
a
v
a
F
donde .
0
, .
1
y .(v
t
) son determinados a través de la ecuación [15]. Si se
sustituye la ecuación [16] en la ecuación [15], se tiene que
()
(
)
() ()
()
()
(
)
{
()
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
+
-
.
+
..
+
.
.
-
.
.
-
.
=
.
-
.
+
.
.´
´
-
.´
-
.
+
.
-
.
.
+
.
-
.
+
.
-
1
1
1
log
log
max
log
log
1
2
2
1
2
1
1
1
1
1
2
2
2
1
1
2
1
2
1
1
1
0
t
P
t
t
t
w
t
t
v
t
t
t
t
t
v
t
w
w
w
w
a
v
v
r
v
v
v
v
v
v
r
r
v
a
r
Condiciones de primer orden
y determinación de coeficientes
Después de calcular las condiciones de primer orden del problema de opti-
mización intertemporal se obtiene que w
t
=w es independiente del tiempo,
así como la relación
[15]
[16]
[17]
54
F
RANCISCO
V
ENEGAS
-M
ARTÍNEZ
()
2
1
1
1
1
P
w
w
w
.
+
.
=
-
.
+
..
-
.
Se selecciona a .(v
t
) como solución de la ecuación diferencial de segundo
orden dada por
() ()
()
()
0
log
1
1
2
2
2
1
=
.
-
.
+
.
. ´
´
-
.´
-
.
t
t
v
t
t
t
t
t
v
v
r
v
v
v
v
v
v
r
Los coeficientes .
0
y .
1
son determinados de la ecuación [15] al sustituir
w* óptima. Así .
1
= r
–1
mientras que el coeficiente de log(a
t
) en la ecuación
[17] es cero, y
()
(
)
()
()
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
+
-
.
+
.
-
.
+
-
-
.
+
.
-
.
+
+
.
-
.
=
.
*
*
*
-
*
-
1
1
1
log
1
log
1
2
2
1
2
2
1
2
1
2
1
0
w
r
v
w
w
r
r
w
r
P
P
P
La utilidad logarítmica conduce a que w dependa solamente de los
parámetros que determinan las características estocásticas de la econo-
mía, y por tanto w es constante. Es decir, la actitud del consumidor hacia
el riesgo cambiario es independiente de su riqueza, i.e., el nivel de riqueza
resultante en cualquier instante no tiene relevancia para las decisiones
de portafolio. Más aún, debido a la utilidad logarítmica, el coeficiente de
correlación, ..(–1, 1), no juega papel alguno en las decisiones del con-
sumidor. Por último, es importante señalar que la ecuación [18] es cúbica,
por lo que tiene al menos una raíz real.
La solución de la ecuación diferencia [19] es (véase el apéndice B)
()
()
.
.
.
.
.
.
.
. -
.
+
.
.
.
.
.
.
.
.
+
.
+
-
.
+
.
-
.
.
.
1
2
1
)
2
(
2
1
log
1
2
2
3
2
2
1
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
t
v
t
t
t
t
[18]
[19]
[20]
[21]
E
STABILIZACIÓN
DE
PRECIOS
E
INGRESO
LABORAL
INCIERTO
55
donde
(
)
(
)
2
2
2
2
1
8
2
2
4
v
v
v
r
v
v
r
.
+
.
-
+
.
-
=
.
y
(
)
(
)
2
2
2
2
2
8
2
2
4
v
v
v
r
v
v
r
.
+
.
-
-
.
-
=
.
Los coeficientes .
2
y .
3
son obtenidos de tal manera que .(v
0
)=0 y .’(v
0
)=0
(véase el apéndice B). La primera condición inicial asegura que el bienes-
tar económico,
(
)()
()
0
0
1
0
0
0
0
0
,
log
,
0
,
,
v
a
v
a
F
v
a
I
W
.
.
+
=
=
=
es independiente de la selección de .. La segunda condición .’(v
0
)=0,
conduce a
0
1
0
0
>
=
.
.
=
rv
v
I
v
v
la cual asegura que un incremento en v
0
mejora el bienestar económico.
Por supuesto, esta segunda condición también asegura una solución úni-
ca, ., de la ecuación diferencial [19].
Una asignación viable del portafolio
La ecuación [18] es cúbica con una raíz negativa y dos raíces positivas.
Esto puede ser visto al intersectar la línea recta definida por el lado dere-
cho de la ecuación [18] con la gráfica definida por el lado izquierdo de
[18]. En este caso, hay solamente una intersección que proporciona un
estado estacionario único de la proporción de la riqueza asignada al con-
sumo w*.(0, 1).
[22]
[23]
56
F
RANCISCO
V
ENEGAS
-M
ARTÍNEZ
E
XPERIMENTOS
DE
POLÍTICA
ECONÓMICA
,
ESTÁTICA
COMPARATIVA
A continuación se obtienen varios resultados relevantes. En primer lugar,
observe que un aumento permanente en la tasa de devaluación, da como
resultado un aumento en el costo de oportunidad futuro de comprar
bienes, lo cual conduce, a su vez, a una disminución permanente de la
proporción de la riqueza destinada al consumo futuro. Para ver esto, se
calcula la derivada de la ecuación [18] con respecto de ., lo cual lleva a
0
1
<
.
-
=
.
.
.
-
*
w
donde
()
()
[
]
0
1
1
2
2
2
2
>
.
.
.
.
.
.
.
.
.
+
-
.
+
..
+
=
.
*
*
P
w
w
r
Otro resultado importante es la respuesta de los saldos monetarios reales
de equilibrio, w*, a cambios permanentes en el parámetro de intensidad,
.. Un aumento permanente en el número esperado de devaluaciones por
unidad de tiempo, ocasiona un incremento en el costo de oportunidad
futuro de la compra de bienes. Esto, a su vez, disminuye permanente-
mente la proporción de la riqueza dedicada al consumo futuro. De hecho,
después de calcular la derivada de la ecuación [18] con respecto a ., se
obtiene
0
)]
1
(
1
[
<
-
.
+
.
.
-
=
.
.
.
*
*
w
w
Un efecto equivalente es obtenido por un cambio permanente en el tamaño
medio esperado de un salto, en cuyo caso se calcula la derivada de la
ecuación [18] con respecto de ., esto es,
[24]
[25]
E
STABILIZACIÓN
DE
PRECIOS
E
INGRESO
LABORAL
INCIERTO
57
0
)]
1
(
1
[
2
<
-
.
+
.
.
=
.
.
.
*
*
w
w
I
MPACTO
DE
CHOQUES
EXÓGENOS
EN
EL
BIENESTAR
ECONÓMICO
Ahora se determinan los efectos de choques exógenos en el bienestar eco-
nómico. Como siempre, el criterio de bienestar, W, del individuo repre-
sentativo es la utilidad maximizada con riqueza real inicial, a
0
, y tasa
impositiva inicial sobre la riqueza, .
0
. En virtud de la ecuación [14], el
bienestar está definido por:
(
)
()()
()
()
[
]
(
)
()
()
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
+
-
.
+
.
-
.
+
-
.
+
.
-
.
+
+
.
-
.
+
+
=
=
=
.
.
.
-
-
1
1
1
log
2
1
2
1
1
log
log
1
1
,
0
,
,
,
;
,
,
,
*
2
2
*
*
2
1
2
*
1
0
0
0
0
0
0
0
0
w
v
w
w
r
r
w
v
a
r
v
a
F
v
a
I
v
a
v
W
P
P
P
donde se ha utilizado el hecho de que .(v
0
)=0.
Efectos de choques externos del tipo de cambio
en el bienestar económico
Ahora se calculan los impactos en el bienestar económico producidos por
cambios permanentes en la tasa media esperada de devaluación, la proba-
bilidad de devaluación y el tamaño esperado de una devaluación. Primero,
note que bajo el supuesto de la utilidad logarítmica, un incremento en la
tasa media de devaluación reduce el bienestar económico. De hecho, al
calcular la derivada de la ecuación [27] con respecto de ., se encuentra
que
0
2
*
<
-
=
.
.
.
r
w
W
[26]
[27]
[28]
58
F
RANCISCO
V
ENEGAS
-M
ARTÍNEZ
Análogamente, los choques exógenos en la probabilidad de devaluación
producirán una reducción en el bienestar económico. Para ver esto, es
suficiente calcular la derivada de la ecuación [27] con respecto de .¸
()
0
1
1
1
log
1
*
2
<
.
.
.
.
.
.
.
.
.
+
-
.
+
-
=
.
.
.
w
r
W
Por último, un aumento permanente del tamaño esperado de una devalua-
ción reduce el bienestar económico, así
() ( )
(
)
0
*
1
1
1
log
1
*
2
<
.
.
.
.
.
.
.
.
-
.
+
.
+
.
-
=
.
.
.
w
w
r
W
Efectos de choques exógenos en el ingreso
sobre el bienestar económico
A continuación, se calculan los impactos en el bienestar económico pro-
ducidos por cambios permanente en la tasa impositiva media esperada
sobre la relación de transformación entre el ingreso laboral y los activos
reales
v
. En este caso, se tiene
0
1
2
>
=
.
.
.
r
W
De aquí que un incremento en
v
, conducirá a un incremento en el bienes-
tar económico.
R
IQUEZA
Y
CONSUMO
A continuación se obtiene el proceso estocástico que genera la riqueza
real del consumidor cuando las decisiones óptimas son aplicadas. Des-
pués de sustituir la proporción óptima w* en la ecuación [11] , se obtiene
[30]
[29]
[31]
E
STABILIZACIÓN
DE
PRECIOS
E
INGRESO
LABORAL
INCIERTO
59
()
()
()
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
-
.
+
-
.
+
+
.
-
.
.
.
.
.
.
.
.
+
.
+
-
.
+
..
=
t
t
t
t
t
N
w
z
w
t
v
w
w
w
a
a
d
1
1
*
1
1
d
d
*
*
1
1
d
*
2
*
donde
.
.
.
.
.
.
..
+
.
.
.
.
.
. .
-
=
t
t
v
v
v
v
t
2
0
2
1
exp
y . ~ N(0, 1). La función de densidad de probabilidad de v
t
, dado v
0
, está
dada por
()
()
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. .
-
-
-
.
.
=
2
2
1
log
2
1
exp
2
1
|
2
0
0
|
0
t
t
v
v
x
x
t
v
x
f
v
v
v
v
v
t
También se tiene que
[]
t
v
t
e
v
v
v
0
0
|
E
=
y
[]
(
)
1
|
var
2
2
2
0
0
-
=
. t
t
v
t
v
e
e
v
v
v
La solución a la ecuación diferencial estocástica [32], sujeta a a
0
, es (véase
el apéndice A, ecuación [A3])
t
e
a
a
t
.
=
0
donde
(
)
[
]
(
)
[
]
t
w
G
t
v
w
F
N
v
t
t
t
t
t
t
,
~
|
,
*
*
+
.
.
+
.
=
.
[32]
[33]
[34]
[36]
[38]
[37]
[35]
60
F
RANCISCO
V
ENEGAS
-M
ARTÍNEZ
(
)
t
t
N
w
H
*
=
.
y
1
()
t
N
t
.
P
~
Los componentes estacionarios de los parámetros de la distribución ante-
rior son:
()
()
()
()( )
,
,
2
1
1
2
*
*
2
*
*
*
*
P
P
w
w
G
w
w
w
w
F
.
=
.
+
-
.
+
..
=
y
()
()
.
.
.
.
.
.
.
.
.
+
-
.
+
=
1
1
1
log
*
*
w
w
H
Observe también que
[]
(
)
(
)
[
]
t
w
H
v
w
F
v
t
t
t
|
E
*
*
.
+
+
=
.
y
[]
() ()
[]
[
]
t
w
H
w
G
v
t
t
|
var
2
*
*
.
+
=
.
Más aún, se sigue que
[] [ ]
{
}
()
()
[
]
t
w
H
e
v
w
F
v
t
v
t
t
t
|
E
E
E
*
0
*
.
+
+
=
.
=
.
y
[40]
[39]
[41]
1
)
(
~ a
x
P
denota la variable aleatoria tipo Poisson x con media a.
[44]
[43]
[42]
E
STABILIZACIÓN
DE
PRECIOS
E
INGRESO
LABORAL
INCIERTO
61
[]
[ ]
{
}
[]
{
}
(
)
() ()
[]
[
]
t
w
H
w
G
e
e
v
t
v
v
t
t
v
t
t
t
t
t
t
1
|
var
E
|
E
var
var
2
*
*
2
2
2
0
2
.
+
+
-
=
.
+
.
=
.
.
Aunque F(w*) siempre es positivo y H(w*) siempre es negativo para toda
0<w*<1 la media de ., E[.
t
|v
t
], permanece positiva. En efecto, ya que
x – 1 – log(x).0 es válida para toda x>0, se tiene que
0
)
1
(
1
1
log
)
1
(
1
*
*
*
.
.
.
.
.
.
.
.
.
-
.
+
.
+
-
-
.
+
.
w
w
w
de donde se obtiene la afirmación acerca del signo de E[.
t
|v
t
]. Por último,
observe que, en virtud de [37], las ecuaciones [44] y [45] determinan la
media y la varianza de la velocidad a la que crece la riqueza real del individuo.
Dinámica del consumo
En virtud de las ecuaciones [6] y [38], el proceso estocástico para el con-
sumo puede ser escrito como
t
e
a
w
c
t
.
-
*
.
=
0
*
1
Esto indica que, en ausencia de mercados de derivados, el riesgo de deva-
luación tiene un efecto sobre la riqueza a través de la incertidumbre en .
t
,
esto es, la incertidumbre modifica el conjunto de oportunidades que en-
frenta el consumidor. Por otra parte, el riesgo de devaluación también
afecta la composición del portafolio por medio de sus efectos sobre w*.
Por tanto, un cambio de política económica estará acompañado tanto por
un efecto riqueza como por un efecto sustitución. Note que de la ecua-
ción [46] se puede calcular la probabilidad de que, en un intervalo dado,
ocurran determinados niveles de consumo. También es importante notar,
considerando las ecuaciones [46] y [12], que el supuesto de una tasa sub-
jetiva de descuento igual a la tasa de interés mundial no asegura un estado
[45]
[46]
62
F
RANCISCO
V
ENEGAS
-M
ARTÍNEZ
estacionario en el consumo. Sin embargo, se tiene un estado estacionario
de la proporción de la riqueza que se destina para el consumo. Se puede
concluir que la incertidumbre es la clave para racionalizar dinámicas de
consumo más realistas que no podrían ser obtenidas a partir de modelos
deterministas. Por último, observe que, en virtud de [46], las ecuaciones
[44] y [45] determinan la media y la varianza de la velocidad a la que crece
el consumo.
Auges en el consumo
Ahora se analiza una política de la forma:
.
.
.
>
.
.
.
=
.
T
t
para
T
t
0
para
2
1
.
t
donde T esta determinada exógenamente y .
1
<.
2
, como en Calvo (1986).
Note que en este marco estocástico existe una carencia de credibilidad
incluso si no hay cambios en los parámetros, ya que los agentes siempre
asignan alguna probabilidad al evento de la devaluación. Se examina la
respuesta del consumo a la ecuación [47]. De la ecuación [46], se puede
escribir
() ()
(
)
{
}
*
*
.
+
*
*
*
*
.
+
›
.
=
.
.
-
.
.
-
=
+
1
2
2
1
1
2
0
exp
lim
w
w
w
w
c
c
T
T
T
T
El límite significa que, aunque los componentes estacionarios de la varia-
ble aleatoria .
t
son diferentes antes y después del tiempo T, tal diferencia
se vuelve insignificante cuando .›0
+
. En consecuencia,
*
*
*
*
.
+
›
.
=
+
1
2
0
lim
w
w
c
c
T
T
[47]
[48]
E
STABILIZACIÓN
DE
PRECIOS
E
INGRESO
LABORAL
INCIERTO
63
También se observa que w
2
*/w
1
*<1, junto con [48], implica que
c
T
*>lim
.›0+
c
T
*
T+.
lo que indica un salto (auge) en el consumo al tiempo T.
En otras palabras, si se espera que el plan sea temporal, entonces hay un
salto en el consumo en T, como se ha demostrado arriba. Un análisis simi-
lar puede ser aplicado a cualquiera de los parámetros restantes que deter-
minan las expectativas de devaluación, a saber . y ..
C
ONCLUSIONES
La literatura predominante ha agotado los modelos deterministas utiliza-
dos para explicar la dinámica del consumo en programas de estabilización
temporal. La mayoría de los modelos existentes ignoran a la incertidumbre
proporcionando justificaciones muy elaboradas a fin de evitar dificultades
técnicas cuando se consideran factores de riesgo. No obstante, lo que
produce la temporalidad en los programas de estabilización inflacionaria
es la incertidumbre misma. En esta investigación se ha desarrollado un
modelo estocástico de estabilización con credibilidad imperfecta. Un as-
pecto importante de este planteamiento es que existe falta de credibilidad
incluso si no hay cambios en los parámetros que determinan las expecta-
tivas de devaluación.
El modelo supone que los agentes tienen expectativas de devaluación
conducidas por un proceso de difusión de saltos. De esta forma los peque-
ños movimientos en el tipo de cambio, que se presentan todos los días,
son modelados a través del movimiento geométrico browniano, y las
devaluaciones repentinas y extremas, als cuales suceden ocasionalmente,
están gobnernadas por un proceso de Poisson. Los procesos de difusión
con saltos proporcionan colas pesadas y sesgo en la distribución del tipo
de cambio, situació que racionaliza dinámicas inflacionarias más realistas
que no podrían ser obtenidas utilizando sólo el movimiento geométrico
browniano.
64
F
RANCISCO
V
ENEGAS
-M
ARTÍNEZ
A
PÉNDICE
A
En este apéndice se establecen sin demostración
2
dos resultados úti-
les en el desarrollo de este trabajo:
1) El lema de Itô para procesos combinados de difusión y saltos de Poisson, el cual
puede ser enunciado de la siguiente manera. Dada la ecuación estocástica lineal y
homogénea
(
)
)
(
~
),
,
0
(
~
,
d
d
d
d
t
q
t
N
z
q
z
t
x
x
t
t
t
t
t
t
.
.
+
.
+
µ
=
P
y una función g(x
t
) con segunda derivada continua, entonces la diferencial estocástica
de g(x
t
) está dada por
() ()
()
()
( )
(
)()
[
]
t
t
t
t
t
t
x
t
t
xx
t
t
x
t
q
x
g
x
g
z
x
x
g
t
x
x
g
x
x
g
x
g
d
1
d
d
2
1
d
2
2
-
.
+
+
.
+
.
+
µ
=
.
.
.
.
.
.
2) La solución a la ecuación [A1] está dada por
()
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
+
+
.
+
.
-
µ
=
t
u
t
u
t
q
t
x
x
z
0
0
2
0
d
1
log
d
2
1
exp
Es importante tener en cuenta que al usar [A3] se cumplen las siguientes propie-
dades:
.t
q
E
y
t
u
z
E
,
z
t
u
t
t
u
t
u
=
=
=
=
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0
0
2
0
0
d
d
d
0
d
E
para todo t . 0.
[A1]
[A2]
[A4]
[A3]
2
Véanse Gihman y Skorohod (1972, capítulo 2).
E
STABILIZACIÓN
DE
PRECIOS
E
INGRESO
LABORAL
INCIERTO
65
A
PÉNDICE
B
En este apéndice, se resuelve la ecuación diferencial ordinaria lineal de
segundo orden no homogénea, la cual aparece en la ecuación [20]. Sea
.=.(v) y considere la ecuación diferencial ordinaria de segundo orden no
homogénea del tipo de Euler-Cauchy
()
v
r
v
r
v
v
v
2
2
2
2
2
2
log
2
2
'
2
'
'
.
-
.
=
.
.
-
.
.
+
.
donde r y . son constantes positivas. Para transformar la ecuación [B1] en
una ecuación diferencial con coeficientes constantes se aplica el método
de Euler en el que se utiliza el siguiente cambio de variable v=e
t
. Así
t=log(v),
t
v
v .
.
.
=
.
.
. 1
y
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
-
.
.
.
=
.
.
.
t
t
v
v
2
2
2
2
2
1
Después de sustituir las ecuaciones [B2] y [B3] en la ecuación [B1], se
obtiene
t
e
r
t
r
t
v
t
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
.
-
.
=
.
.
-
.
.
.
.
.
.
.
.
. -
.
+
.
.
.
La solución general de esta ecuación es de la forma:
() () ()
t
t
t
P
C
.
+
.
=
.
[B1]
[B2]
[B3]
[B5]
[B4]
66
F
RANCISCO
V
ENEGAS
-M
ARTÍNEZ
donde .
C
es la solución complementaria asociada a la ecuación homogé-
nea y .
P
es una solución particular de la ecuación no homogénea. Para
determinar .
C
se necesita resolver la siguiente ecuación característica en .:
0
2
1
2
2
2
2
=
.
-
.
.
.
.
.
.
. -
.
+
.
r
v
De aquí que la solución complementaria es
()
t
t
C
e
e
t
2
1
3
2
.
.
.
+
.
=
.
donde las dos raíces están dadas por
(
)
(
)
2
2
2
2
1
8
2
2
4
.
+
.
-
+
.
-
=
.
r
v
v
r
y
(
)
(
)
2
2
2
2
2
8
2
2
4
.
+
.
-
-
.
-
=
.
r
v
v
r
Enseguida se determina .
P
, para ello se utiliza el método de coeficientes
indeterminados. Se supone que la solución es de la siguiente forma:
()
t
P
Cte
B
At
t
+
+
=
.
Por tanto, .’
P
(t)=A + C(t+1)e
t
y .’
P
(t)=C(t+2)e
t
. Posteriormente, se sus-
tituye la ecuación [B7] en la ecuación [B4] , lo cual conduce a
t
t
t
e
r
t
B
r
A
v
At
r
Ce
v
Cte
r
v
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
.
-
.
=
.
-
.
.
.
.
.
. -
.
+
.
-
.
.
.
.
.
.
.
+
+
.
.
.
.
.
.
.
-
.
[B7]
[B6]
E
STABILIZACIÓN
DE
PRECIOS
E
INGRESO
LABORAL
INCIERTO
67
Al resolver término a término se tiene que los valores de A, B y C. están
dados por
(
)
)
2
(
2
y
,
2
2
1
,
1
2
2
2
v
r
C
v
r
B
r
A
+
.
-
=
-
.
=
-
=
de donde para una solución particular se debe tener que
r
=
v . En conse-
cuencia,
()
t
P
te
v
v
v
v
t
v
t
)
2
(
2
2
1
1
2
2
2
+
.
-
.
+
-
-
=
.
Al sustituir las ecuaciones [B6] y [B8] en la ecuación [B5] se tiene que
()
t
t
t
te
v
v
v
v
t
v
e
e
t
)
2
(
2
2
1
1
2
2
2
3
2
2
1
+
.
-
.
+
-
-
.
+
.
=
.
.
.
Como v=e
t
, la solución general de la ecuación [B1], en términos de v, está
dada por
()
()
.
.
.
.
.
.
.
. -
.
+
.
.
.
.
.
.
.
.
+
.
+
-
.
+
.
=
.
.
.
1
2
1
)
2
(
2
1
log
1
2
2
3
2
2
1
v
v
v
v
v
v
v
v
t
t
t
t
t
Los valores .
2
y .
3
que satisfacen las condiciones iniciales .(v
0
)=.’(v
0
)=0
son
(
)
()
()( )
(
)
.
.
.
.
.
.
+
.
-
+
.
+
-
.
.
.
.
.
.
.
.
.
-
+
.
.
-
.
=
.
.
-
1
1
log
1
2
2
2
1
log
2
0
2
0
2
0
2
2
1
0
2
1
v
v
v
v
v
v
v
y
(
)
()
()( )
(
)
.
.
.
.
.
.
+
.
-
+
.
+
+
.
.
.
.
.
.
.
.
.
-
+
.
-
.
-
.
=
.
.
-
1
1
log
1
2
2
2
1
log
1
0
2
0
2
0
1
2
1
0
3
2
v
v
v
v
v
v
v
[B8]
[B9]
68
F
RANCISCO
V
ENEGAS
-M
ARTÍNEZ
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